Question

3．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弧AB=弧AC，AP是⊙O的切線，交BO的延長線于點P．
（1）求證：AP∥BC；
（2）若tan∠P=$\frac{3}{4}$，求tan∠PAC的值．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，如圖，利用弧、弦、圓周角之間的關系由弧AB=弧AC得到AB=AC，則根據(jù)等腰三角形的性質得BH=CH，再根據(jù)垂徑定理的推論可判斷點O在AH上，然后根據(jù)切線的性質得OA⊥AP，于是可判斷AP∥BC；
（2）根據(jù)平行線的性質，由AP∥BC得到∠P=∠PBC，再根據(jù)正切的定義得到tan∠OBH=$\frac{OH}{BH}$=$\frac{3}{4}$，設OH=3x，則BH=4x，OB=5x，然后在Rt△ABH中利用正切的定義可計算出tan∠ABH=2，然后證明∠ABH=∠C=∠PAC即可．

解答 （1）證明：作AH⊥BC于H，如圖，
∵弧AB=弧AC，
∴AB=AC，
∴BH=CH，
即AH垂直平分BC，
∴點O在AH上，
∵AP為切線，
∴OA⊥AP，
∴AP∥BC；
（2）解：∵AP∥BC，
∴∠P=∠PBC，
在Rt△OBH中，tan∠OBH=$\frac{OH}{BH}$=$\frac{3}{4}$，
設OH=3x，則BH=4x，
∴OB=5x，
∴AH=OA+OH=8x，
在Rt△ABH中，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{8x}{4x}$=2，
∵∠ABH=∠C=∠PAC，
∴tan∠PAC=2．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了等腰三角形的性質和垂徑定理．