Question

16．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=$\sqrt{3}$，△A′B′C由△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，恰好A，B′，A′在同一條直線上，A′D∥BC交AC的延長線于點(diǎn)D，則A′D的長為（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=$\sqrt{3}$，求得A′C=AC=3，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求得∠A'CD=60°，最后在Rt△A'CD中，根據(jù)勾股定理即可得到A′D的長．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵BC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，
∴A′C=AC=3，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′為等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一條直線上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴∠A'CD=60°，
又∵A′D∥BC，
∴∠D=∠BCD=90°，
∴Rt△A'CD中，CD=$\frac{1}{2}$A'C=$\frac{3}{2}$，
∴A'D=$\sqrt{A'{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．