Question

4．若三個非零實數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)x，y，z構成“和諧三組數(shù)”．
（1）實數(shù)1，2，3可以構成“和諧三組數(shù)”嗎？請說明理由；
（2）若M（t，y₁），N（t+1，y₂），R（t+3，y₃）三點均在函數(shù)$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，且這三點的縱坐標y₁，y₂，y₃構成“和諧三組數(shù)”，求實數(shù)t的值；
（3）若直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x₁，0），與拋物線y=ax²+3bx+3c（a≠0）交于B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）兩點．
①求證：A，B，C三點的橫坐標x₁，x₂，x₃構成“和諧三組數(shù)”；
②若a＞2b＞3c，x₂=1，求點P（$\frac{c}{a}$，$\frac{a}$）與原點O的距離OP的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由和諧三組數(shù)的定義進行驗證即可；
（2）把M、N、R三點的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出y₁、y₂、y₃，再由和諧三組數(shù)的定義可得到關于t的方程，可求得t的值；
（3）①由直線解析式可求得x₁=-$\frac{c}$，聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可求得x₂+x₃=-$\frac{a}$，x₂x₃=$\frac{c}{a}$，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c=0，可得c=-（a+b），由a＞2b＞3c可求得$\frac{a}$的取值范圍，令m=$\frac{a}$，利用兩點間距離公式可得到OP²關于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP²的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．

解答 解：
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒數(shù)分別為1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≠1，1+$\frac{1}{2}$≠$\frac{1}{3}$，1+$\frac{1}{3}$≠$\frac{1}{2}$
∴實數(shù)1，2，3不可以構成“和諧三組數(shù)”；
（2）∵M（t，y₁），N（t+1，y₂），R（t+3，y₃）三點均在函數(shù)$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，
∴y₁、y₂、y₃均不為0，且y₁=$\frac{k}{t}$，y₂=$\frac{k}{t+1}$，y₃=$\frac{k}{t+3}$，
∴$\frac{1}{{y}_{1}}$=$\frac{t}{k}$，$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{t+1}{k}$，$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{t+3}{k}$，
∵y₁，y₂，y₃構成“和諧三組數(shù)”，
∴有以下三種情況：
當$\frac{1}{{y}_{1}}$=$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$時，則$\frac{t}{k}$=$\frac{t+1}{k}$+$\frac{t+3}{k}$，即t=t+1+t+3，解得t=-4；
當$\frac{1}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$時，則$\frac{t+1}{k}$=$\frac{t}{k}$+$\frac{t+3}{k}$，即t+1=t+t+3，解得t=-2；
當$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$時，則$\frac{t+3}{k}$=$\frac{t}{k}$+$\frac{t+1}{k}$，即t+3=t+t+1，解得t=2；
∴t的值為-4、-2或2；
（3）①∵a、b、c均不為0，
∴x₁，x₂，x₃都不為0，
∵直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x₁，0），
∴0=2bx₁+2c，解得x₁=-$\frac{c}$，
聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c=ax²+3bx+3c，即ax²+bx+c=0，
∵直線與拋物線交與B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）兩點，
∴x₂、x₃是方程ax²+bx+c=0的兩根，
∴x₂+x₃=-$\frac{a}$，x₂x₃=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{{x}_{2}{x}_{3}}$=$\frac{-\frac{a}}{\frac{c}{a}}$=-$\frac{c}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴x₁，x₂，x₃構成“和諧三組數(shù)”；
②∵x₂=1，
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∵a＞2b＞3c，
∴a＞2b＞3（-a-b），且a＞0，整理可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞2b}\\{5b＞-3a}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{5}$＜$\frac{a}$＜$\frac{1}{2}$，
∵P（$\frac{c}{a}$，$\frac{a}$）
∴OP²=（$\frac{c}{a}$）²+（$\frac{a}$）²=（$\frac{-a-b}{a}$）²+（$\frac{a}$）²=2（$\frac{a}$）²+2$\frac{a}$+1=2（$\frac{a}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
令m=$\frac{a}$，則-$\frac{3}{5}$＜m＜$\frac{1}{2}$且m≠0，且OP²=2（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵2＞0，
∴當-$\frac{3}{5}$＜m＜-$\frac{1}{2}$時，OP²隨m的增大而減小，當m=-$\frac{3}{5}$時，OP²有最大值$\frac{26}{50}$，當m=-$\frac{1}{2}$時，OP²有最小值$\frac{1}{2}$，
當-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{1}{2}$時，OP²隨m的增大而增大，當m=-$\frac{1}{2}$時，OP²有最小值$\frac{1}{2}$，當m=$\frac{1}{2}$時，OP²有最大值$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤OP^2＜$\frac{5}{2}$且OP²≠1，
∵P到原點的距離為非負數(shù)，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤OP＜$\frac{\sqrt{10}}{2}$且OP≠1．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點、一元二次方程根與系數(shù)的關系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想及轉化思想等知識．在（1）中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在（2）中由和諧三數(shù)組得到關于t的方程是解題的關鍵，在（3）①中用a、b、c分別表示出x₁，x₂，x₃是解題的關鍵，在（3）②中把OP²表示成二次函數(shù)的形式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，難度很大．