Question

6．下列命題：
①若a+b+c=0，則b²-4ac＜0；
②若b=2a+3c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③若b＞a+c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
④若b²-4ac＞0，則二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2或3；
⑤若ac+b+1=0，則二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸一定有交點(diǎn)．
其中正確的是②④⑤．

Answer 1

分析 把b=-（a+c）代入△=b²-4ac中計(jì)算可得△=（a-c）²，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；把b=2a+3c代入△=b²-4ac中，利用配方法得到△=4（a+c）²+5c²，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用反例對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題可對(duì)④進(jìn)行判斷；先計(jì)算出△=（ac-1）²≥0，則根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答 解：當(dāng)b=-（a+c），△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，所以①錯(cuò)誤；
當(dāng)b=2a+3c，△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4a²+8ac+9c²=4（a+c）²+5c²＞0，所以②正確；
當(dāng)b=0，a=-1，c=0，滿足b＞a+c，而此時(shí)方程為-x²=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，所以③錯(cuò)誤；
若b²-4ac＞0，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)c=0時(shí)，拋物線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)c≠0，此時(shí)拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，所以④正確；
若b=-ac-1，△=b²-4ac=（-ac-1）²-4ac=（ac-1）²≥0，則二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸一定有交點(diǎn)，所以⑤正確．
故答案為②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式． 2、有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．也考查了根的判別式和二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題．