Question

1．如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)O
（1）以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連接兩條線的（正方形的對(duì)角線除外），要求所連接的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；
（2）若正方形的邊長為2cm，若旋轉(zhuǎn)的角度為30°，求重疊部分（四邊形AEOD）的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE、AO，證明△ADO≌△AEO，從而可證明AO是DE的垂直平分線；
（2）△ADO中，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得OE的長，然后利用三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）如圖所示連接OE、AO．

由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD=AE，∠CDA=∠AEF=90°，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO．
∴OD=OE．
∵AD=AE，OD=EO，
∴AO是DE的垂直平分線．
∴AO⊥DE．
（2）∵旋轉(zhuǎn)的角度為30°，
∴∠EAN=30°．
∴∠DAE=60°．
由（1）可知：Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴∠OAE=$\frac{1}{2}∠DAE$=30°．
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴重合部分的面積=2S_AOE=2×$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得Rt△ADO≌Rt△AEO是解題的關(guān)鍵．