Question

10．（1）如圖1，操作：把正方形CGEF的對(duì)角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上（CG＞BC），取線段AE的中點(diǎn)M．探究線段PD、PF的關(guān)系，并加以證明．
（2）如圖2，將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后，其他條件不變，探究：線段PD，PF的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件證明△DCF≌△NEF，證明出線段DF與線段FN相等，從而證出△FDN為等腰三角形，再根據(jù)條件證明△ADM≌△ENM，所以DM=MN．進(jìn)而求出線段MD、MF的關(guān)系；
（2）延長(zhǎng)DP到N，使PN=PD，連接FD、FN、EN，延長(zhǎng)EN與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．證明△DCF≌△NEF，即可得到線段PD，PF的位置及數(shù)量關(guān)系．

解答 證明：（1）延長(zhǎng)DP交BE于N，連接FD、FN，
∵CE是正方形CGEF的對(duì)角線，
∴CF=EF，∠1=∠FEN=45°，
又∵∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠2=∠1=∠FEN=45°，
在△CDF和△ENF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠2=∠NEF}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ENF（SAS）
∴∠3=∠4，DF=FN，
又∵∠CFN+∠4=90°，
∴∠CFN+∠3=90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
在△ADP與△ENP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠PEN}\\{AP=PE}\\{∠DPA=∠EPN}\end{array}\right.$
∵△ADP≌△ENP，
∴DP=NP，
∴FP=D，F(xiàn)P⊥DP；

（2）PD=PF，PD⊥PF，
延長(zhǎng)DP到N，使PN=PD，連接FD、FN、EN，延長(zhǎng)EN與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．
在△APD與△EPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PE}\\{∠1=∠2}\\{PD=PN}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△EPN，
∴∠3=∠4，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠3=∠4，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠5=∠6，
∴∠7=∠8．
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
在△DCF與△NEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=NE}\\{∠DCF=∠FEN}\\{FC=FE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FP⊥PD，PF=PD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，需要兩次利用三角形全等證明，思路比較繁瑣．