Question

17．如圖1，直線y=k₁x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于點(diǎn)A，B，直線y=k₂x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)C，D，且k₁•k₂≠0，k₁≠k₂，順次連接A，D，B，C，AD，BC分別交x軸于點(diǎn)F，H，交y軸于點(diǎn)E，G，連接FG，EH．
（1）四邊形ADBC的形狀是平行四邊形；
（2）如圖2，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），四邊形AEHC是正方形，則k₂=$\frac{1}{2}$；
（3）如圖3，若四邊形EFGH為正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（4）判斷：隨著k₁、k₂取值的變化，四邊形ADBC能否為正方形？若能，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥y軸，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸，垂足為N，根據(jù)四邊形AEHC是正方形可知OA=OC，故可得出△OAM≌△OCN，AM=CN，由此可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k₂的值即可；
（3）過點(diǎn)A作AM⊥y軸，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸，垂足為N，根據(jù)四邊形EFGH為正方形可得出AM=AE．CN=HN．由點(diǎn)A（2，6）得出AM=ME=2，OM=6，設(shè)CN=HN=m，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4+m，m）．根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象過點(diǎn)C和點(diǎn)A（2，6）可得出m的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象不能與坐標(biāo)軸相交可知∠AOC＜90°，故四邊形ADBC的對(duì)角線不能互相垂直，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB，OC=OD，
∴四邊形ADBC是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形；

（2）如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥y軸，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸，垂足為N，
∵四邊形AEHC是正方形，
∴DA⊥AC，
∴四邊形ADBC是矩形，
∴OA=OC．
∴AM=CN，
∴C（4，2），
∴2=4k₂，解得k₂=$\frac{1}{2}$．
故答案為；$\frac{1}{2}$；

（3）如圖2所示，過點(diǎn)A作AM⊥y軸，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸，垂足為N，
∵四邊形EFGH為正方形，
∴∠FEO=45°，EO=HO，
∴∠AEM=45°．
∵∠AME=90°，
∴∠EAM=∠AEM=45°．
∴AM=EM．
同理，CN=HN．
∵點(diǎn)A（2，6），
∴AM=ME=2，OM=6，
∴OE=OH=4．
設(shè)CN=HN=m，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4+m，m）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象過點(diǎn)C和點(diǎn)A（2，6），
∴m•（4+m）=12，解得m₁=2，m₂=-6（舍去）；
當(dāng)m=2時(shí)，m+4=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2）；

（4）不能．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象不能與坐標(biāo)軸相交，
∴∠AOC＜90°，
∴四邊形ADBC的對(duì)角線不能互相垂直，
∴四邊形ADBC不能是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．