Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，在射線EP上取點(diǎn)D使得DC=DP，連接DC．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若∠CBA=30°，射線EP交⊙O于點(diǎn) F，當(dāng)點(diǎn) F恰好是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，判斷以B，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，利用已知條件和圓的基本性質(zhì)證明OC⊥CD，即可得到直線DC是⊙O的切線；
（2）連接AC，由∠CAB=30°易得△OAC為等邊三角形，可得∠BOC=120°，由F是弧AC的中點(diǎn)，易得△BOF與△COF均為等邊三角形，可得BF=BO=OC=CF，易得以B，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

解答 解：
（1）證明：連接OC，
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
∵∠DPC=∠BPE，
∴∠BPE=∠DCP，
∵PE⊥AB，
∴∠BEP=90°，
∴∠B+∠APE=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∴∠OCB+∠DCP=90°，
∴OC⊥CD，
∴直線CD與⊙O相切；        
（2）以B、O、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：
連接AC，
∵∠CBA=30°，
∴∠A=60°，
∴△OAC為等邊三角形，
∴∠BOC=120°，
連接OF，BF，CF
∵F是弧BC的中點(diǎn)，
∴∠BOF=∠COF=60°，
∴△BOF與△COF均為等邊三角形，
∴BF=BO=OC=CF，
∴四邊形BOCF為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理和等邊三角形的判定等，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線利用切線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．