Question

2．已知x₁，x₂是關(guān)于x的方程（x-2）（x-3）=（n-2）（n-3）的兩個實數(shù)根．則：
（1）兩實數(shù)根x₁，x₂的和是5；
（2）若x₁，x₂恰是一個直角三角形的兩直角邊的邊長，那么這個直角三角形面積的最大值是$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 （1）原方程可化為x²-5x-n²+5n=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式得到直角三角形面積=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）原方程可化為x²-5x-n²+5n=0，
∴x₁+x₂=5；
故答案為：5；
（2）∵x₁，x₂恰是一個直角三角形的兩直角邊的邊長，
∴x₁x₂=-n²+5n，
∴直角三角形面積=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴直角三角形面積的最大值=$\frac{25}{8}$．
故答案為：$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，直角三角形的面積的計算，二次函數(shù)的最值問題，正確求出直角三角形面積=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{5}{2}$n=-$\frac{1}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$是求直角三角形面積的最大值的關(guān)鍵．