Question

17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)O是斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為斜邊AC上的點(diǎn)，點(diǎn)D為直角邊BC上的點(diǎn)，且PB=PD，DE⊥AC于E，BO與PD相交于M．
（1）請說明BO=PE的理由；
（2）若CE=x，AC=8，△ABP的面積是y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不考慮x的取值范圍），并畫出這個(gè)函數(shù)的完整圖象；
（3）在（2）的條件下，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是D，與y軸的交點(diǎn)是A點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)是O點(diǎn)，請畫出∠OAB，使射線AB交x軸于B點(diǎn)，使射線AD平分∠OAB，若⊙O′經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)D，且圓心O′點(diǎn)在AB上，請說明“OB為⊙O′的切線”的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和外角性質(zhì)證明△BOP≌△PED即可；
（2）結(jié)合（1）表示出三角形APB的底和高，用三角形面積公式進(jìn)行求解，用兩點(diǎn)法畫直線即可；
（3）結(jié)合平行和半徑相等，證明O′D∥OA即可．

解答 解：（1）如圖1

由等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)O是斜邊AC的中點(diǎn)，可得：∠A=∠C=∠ABO=∠CBO=45°，BO⊥AC，∠BOP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴45°+∠PBO=45°+∠DPE，
∴∠PBO=∠DPE，
∵DE⊥AC，
∴∠DEP=90°，
∴∠DPE=∠BOP，
在△BOP和△PED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠DEP}\\{∠PBO=∠DPE}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△PED，
BO=PE；
（2）由等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)O是斜邊AC的中點(diǎn)，可得：BO=$\frac{1}{2}$AC=4，
由（1）知，PE=BO=4，
∴AP=8-4-x=4-x，
∴y=$\frac{1}{2}×4×（4-x）$=-2x+8，
圖象是過（4，0）和（0，8）的一條直線，如圖2，

（3）如圖3，

∵AO′=DO′，
∴∠O′AD=∠O′DA，
∵AD平分∠OAB，
∴∠OAD=∠O′AD，
∴∠OAD=∠O′DA，
∴O′D∥OA，
∴∠O′DB=90°，
∴OB為⊙O′的切線．

點(diǎn)評 此題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)和圓的綜合問題，會(huì)構(gòu)造全等三角形證明線段相等，會(huì)表示三角形面積，會(huì)證明圓的切線是解題的關(guān)鍵．