Question

18．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E，F(xiàn)，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）求證：OE²=OD•OP；
（3）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值和線段PE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，如圖，先利用切線的性質(zhì)得∠OBP=90°，再根據(jù)垂徑定理得到AD=BD，即OP垂直平分AB，所以PA=PB，然后證明∠PAB+∠OAB=∠PBA+∠OBA=90°，從而根據(jù)切線的判定定理可得到直線PA為⊙O的切線；
（2）證明△OAD∽△OPA，利用相似比得到OA²=OD•OP，然后利用OE=OA，即可得到結(jié)論；
（3）連接AE，如圖，先證明OD為△ABC的中位線得到OD=$\frac{1}{2}$BC=3，設(shè)DE=x，則OE=OA=OF=3+x，再根據(jù)圓周角定理得到∠F=∠DAE，則tan∠DAE=tan∠F=$\frac{1}{2}$，利用正切定義得到AD=2DE=2x，接著在Rt△ADF中利用正切定義得到$\frac{2x}{3+x+3}$=$\frac{1}{2}$，解得x=2，則AD=4，AD=6，OA=OE=5，然后利用余弦定義求出cos∠ACB的值；再利用OE²=OD•OP求出OP，從而可得到PE的長．

解答 （1）證明：連接OB，如圖，
∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
∵BA⊥PF，
∴AD=BD，
即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠PAB+∠OAB=∠PBA+∠OBA=90°，即∠PAO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直線PA為⊙O的切線；
（2）∵∠ADO=∠OAP=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴OA²=OD•OP，
而OE=OA，
∴OE²=OD•OP；
（3）解：連接AE，如圖，
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OD垂直平分AB，
∴OD∥BC，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=3，
設(shè)DE=x，則OE=OA=OF=3+x，
∵OD垂直平分AB，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠DAE=tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2DE=2x，
在Rt△ADF中，tan∠F=$\frac{AD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2x}{3+x+3}$=$\frac{1}{2}$，解得x=2，
∴AD=4，AD=6，OA=OE=5，
在Rt△ABC中，AC=2OA=10，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
∵OE²=OD•OP，
∴25=3×OP，解得OP=$\frac{25}{3}$，
∴PE=OP-OE=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時只有利用相似比計算相應(yīng)線段的長．也考查了切線的判定與性質(zhì)．