Question

8．如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在邊OA上從O向A運(yùn)動(dòng)，連接CP交對(duì)角線OB于點(diǎn)Q，連接AQ．
（l）求證：△OCQ≌△OAQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在邊OA上從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后，再繼續(xù)在邊AB上從A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，在整個(gè)過運(yùn)動(dòng)過程中，若△OCQ恰為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)推出OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，根據(jù)SAS證明三角形全等即可；
（2）先求出OB，OQ，進(jìn)而判斷出△OQP∽△BQC，即可得出結(jié)論．
（3）分為三種情況：①OC=OD時(shí)，②CD=OD時(shí)，③OC=CD時(shí)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和相似求出即可．

解答 解：（1）證明：∵四邊形OCBA是正方形，
∴OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，
在△OCD和△OAD中$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠COD=∠AOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OAD（SAS），
（3）∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴OQ=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
在正方形OABC中，BC∥OA，OC=BC=4，
∴OB=4$\sqrt{2}$，
∴BQ=OB-OQ=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∵BC∥OA，
∴△OQP∽△BQC，
∴$\frac{OQ}{BQ}=\frac{OP}{BC}$，
∴$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\frac{8\sqrt{2}}{3}}=\frac{OP}{4}$，
∴OP=2，
∴P（2，0）；

（3）解：分為三種情況：
①OC=OD時(shí)，如圖1，
∴OD=4，
∵OB=4$\sqrt{2}$，
∴BD=OB-OD=4$\sqrt{2}$-4，
∵∠BOC=45°，
∴∠OCP=67.5°，
∴點(diǎn)P在AB上，
∵OC∥AB，
∴△ODC∽△BDP，
∴$\frac{OD}{BD}=\frac{OC}{BP}$，
∴$\frac{4}{4\sqrt{2}-4}=\frac{4}{BP}$，
∴BP=4$\sqrt{2}$-4，
∴AP=AB-BP=4-（4$\sqrt{2}$-4）=8-4$\sqrt{2}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8-4$\sqrt{2}$）；
②CD=OD時(shí)，如圖2，
∵∠BOC=45°，
∴點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）；
③OC=CD時(shí)，
∴∠CDO=∠COD=45°．
∴∠OCD=90°，
∴點(diǎn)P和點(diǎn)B重合，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，4）．
即滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，8-4$\sqrt{2}$）或（4，0）或（4，4）．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是找出相似三角形，是一道中等難度的中考�？碱}．