Question

如圖，直線y=3x與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于點(diǎn)A，將直線y=3x繞著A點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C（5，0），并且2AC=3BC，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,一次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則AD∥BE．設(shè)A（a，3a），則k=a•3a=3a²．由AD∥BE，得出△BEC∽ADC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

BE

3a

=

EC

DC

=

2

3

，那么BE=2a，求出B（

3

2

a，2a）．由2DC=3EC得到方程2（5-a）=3（5-

3

2

a），解方程求出a=2，于是k=3a²=3×2²=12．

解答：解：如圖，作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則AD∥BE．
設(shè)A（a，3a），則k=a•3a=3a²．
∵AD∥BE，
∴△BEC∽ADC，
∴

BE

AD

=

EC

DC

=

BC

AC

，即

BE

3a

=

EC

DC

=

2

3

，
∴BE=

2

3

•3a=2a，即B點(diǎn)縱坐標(biāo)為2a，
∴B點(diǎn)橫坐標(biāo)為

k

2a

=

3a2

2a

=

3

2

a，
∴B（

3

2

a，2a）．
∵2DC=3EC，D（a，0），E（

3

2

a，0），C（5，0），
∴2（5-a）=3（5-

3

2

a），
解得a=2，
∴k=3a²=3×2²=12．
故答案為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)A（a，3a），用含a的代數(shù)式表示D、E的坐標(biāo)，進(jìn)而由2DC=3EC得到方程2（5-a）=3（5-

3

2

a）是解題的關(guān)鍵．