Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+1與y=-$\frac{3}{4}$x+3交于點(diǎn)A，且分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，求滿足條件的第四象限點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在兩直線解析式中分別令y=0，求得相應(yīng)的x的值，可求得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立兩直線方程可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由條件可得到BD=CD，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，可表示出MC、DC，由勾股定理可得到關(guān)于x的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=x+1中，令y=0可得x=-1，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，令y=0可得0=-$\frac{3}{4}$x+3，解得x=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
聯(lián)立兩直線方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{7}}\\{y=\frac{15}{7}}\end{array}\right.$，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）；
（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形，點(diǎn)D在第四象限時(shí)，∠BCD為鈍角，則BC=CD．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），由（1）得B（-1，0），C（4，0），
∴BC=5．
如圖，過(guò)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，則DM²+CM²=CD²，
∵M(jìn)C=x-4，DM=|-$\frac{3}{4}$x+3|，DC=5，
∴（x-4）²+（-$\frac{3}{4}$x+3）²=5²，
解得x=8或x=0（舍去），
此時(shí)y=-$\frac{3}{4}$×8+3=-3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的交點(diǎn)，掌握兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)方程組的解是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．