Question

13．設(shè)b為正整數(shù)，a為實(shí)數(shù)，記M=a²-4ab+5b²+2a-2b+$\frac{11}{4}$，在a，b變動(dòng)的情況下，求M可能取得的最小整數(shù)值．并求出M取得最小整數(shù)值時(shí)a、b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)配方法把M進(jìn)行變形，根據(jù)b為正整數(shù)，求出M可能取得的最小整數(shù)值，把M的最小值代入配方后的式子，求出a、b的值．

解答 解：M=a²-4ab+5b²+2a-2b+$\frac{11}{4}$
=（a-2b）²+2（a-2b）+1+b²+2b+$\frac{3}{4}$
=（a-2b+1）²+（b+1）²+$\frac{3}{4}$，
∵b為正整數(shù)，
∴M≥$\frac{19}{4}$，M可能取得的最小整數(shù)值是5，
（a-2b+1）²+（b+1）²+$\frac{3}{4}$=5，
（a-2b+1）²+（b+1）²=$\frac{17}{4}$，
∵b為正整數(shù)，∴b+1=2，
（a-2b+1）²=$\frac{1}{4}$，
a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$，
∴b=1，a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法的步驟和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．