Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延長線于點F．
（1）求證：直線FG是⊙O的切線；
（2）若AC=10，cosA=$\frac{2}{5}$，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）首先判斷出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根據DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判斷出直線FG是⊙O的切線．
（2）首先根據相似三角形判定的方法，判斷出△ODF∽△AGF，再根據cosA=$\frac{2}{5}$，可得cos∠DOF=$\frac{2}{5}$；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODG=∠DGC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGC=90°，
∴∠ODG=90°，
∴OD⊥FG，
∵OD是⊙O的半徑，
∴直線FG是⊙O的切線．

（2）解：如圖2，
∵AB=AC=10，AB是⊙O的直徑，
∴OA=OD=10÷2=5，
由（1），可得
OD⊥FG，OD∥AC，
∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，
在△ODF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOF=∠A}\\{∠F=∠F}\end{array}\right.$
∴△ODF∽△AGF，
∴$\frac{OD}{AG}=\frac{OF}{AF}$，
∵cosA=$\frac{2}{5}$，
∴cos∠DOF=$\frac{2}{5}$，
∴$OF=\frac{OD}{cos∠DOF}$=$\frac{5}{\frac{2}{5}}=\frac{25}{2}$，
∴AF=AO+OF=5$+\frac{25}{2}=\frac{35}{2}$，
∴$\frac{5}{AG}=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{35}{2}}$，
解得AG=7，
∴CG=AC-AG=10-7=3，
即CG的長是3．

點評 （1）此題主要考查了切線的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
（2）此題還考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．