Question

10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B（12，4），點(diǎn)D（3，0），點(diǎn)E（0，2），過點(diǎn)D作DF⊥DE，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，將△DEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為θ（0°＜θ＜180°）．
（1）求tan∠DFE．
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△DFE的一邊與直線AB平行時(shí)，求直線AB截△DFE所得的三角形的面積．
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DFE的兩邊所在直線與y軸圍成的三角形為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，根據(jù)相似比求DG的長(zhǎng)，利用勾股定理分別求DE和DF的長(zhǎng)，由三角函數(shù)定義計(jì)算tan∠DFE的值；
（2）分三種情況：
①當(dāng)ED∥AB時(shí)，如圖2，此時(shí)直線AB截△DFE所得的三角形是△FGH，
②當(dāng)DF∥AB時(shí)，如圖3，此時(shí)直線AB截△DFE所得的三角形是△AGE，
③當(dāng)EF∥AB時(shí)，如圖4，此時(shí)直線AB截△DFE所得的三角形是△DGH，
代入面積公式求出面積即可；
（3）分四種情況：
①如圖5，當(dāng)GF=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)得：tan∠G=$\frac{ED}{GD}$=$\frac{FH}{GH}$，則$\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{13}}$=$\frac{FH}{GH}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)FH=a，GH=3a，則GF=$\sqrt{10}$a，求出a的值，寫出F的坐標(biāo)；
②當(dāng)GF=GE時(shí)，如圖6，作輔助線，證明△EFH≌△FED，求FH和OH的長(zhǎng)，寫出F的坐標(biāo)；
③當(dāng)FG=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$時(shí)，如圖7，求DG的長(zhǎng)，利用勾股定理求EG=$\frac{\sqrt{130}}{3}$，利用面積法求FH的長(zhǎng)，寫出F的坐標(biāo)；
④當(dāng)EG=EF=$\frac{5}{3}$$\sqrt{13}$時(shí)，如圖8，根據(jù)tan∠DFE=tan∠DGE=$\frac{3}{4}$=$\frac{FH}{GH}$，設(shè)FH=3b，GH=4b，則FG=5b，
求出b的值，計(jì)算OH和FH的長(zhǎng)，寫出F坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過F作FG⊥OC于G，則FG=4，
∵點(diǎn)D（3，0），點(diǎn)E（0，2），
∴OE=2，OD=3，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDO+∠FDC=90°，
∵∠EOD=90°，
∴∠OED+∠EDO=90°，
∴∠OED=∠FDC，
∵∠EOD=∠FGD=90°，
∴△FDG∽△DEO，
∴$\frac{FG}{DO}=\frac{DG}{EO}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{DG}{2}$，
∴DG=$\frac{8}{3}$，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\sqrt{16+\frac{64}{9}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
ED=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在Rt△DEF中，tan∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{13}}{\frac{4}{3}\sqrt{13}}$=$\frac{3}{4}$；
（2）分三種情況：
①當(dāng)ED∥AB時(shí)，如圖2，此時(shí)直線AB截△DFE所得的三角形是△FGH，
∵DF⊥DE，
∴AB⊥DF，
∴DH=AE=2，
∴FH=DF-DH=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$-2，
由tan∠F=$\frac{GH}{FH}$=$\frac{3}{4}$得：$\frac{GH}{\frac{4\sqrt{13}}{3}-2}$=$\frac{3}{4}$，
∴GH=$\frac{2\sqrt{13}-3}{2}$，
∴S=S_△FGH=$\frac{1}{2}$GH•FH=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{13}-3}{2}$（$\frac{4\sqrt{13}}{3}$-2）=$\frac{61}{6}$-2$\sqrt{13}$；
②當(dāng)DF∥AB時(shí)，如圖3，此時(shí)直線AB截△DFE所得的三角形是△AGE，
tan∠AEG=$\frac{AG}{AE}=\frac{DF}{DE}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AG}{2}=\frac{4}{3}$，
∴AG=$\frac{8}{3}$，
∴S=S_△AGE=$\frac{1}{2}$AG•AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=$\frac{8}{3}$；
③當(dāng)EF∥AB時(shí)，如圖4，此時(shí)直線AB截△DFE所得的三角形是△DGH，
∴∠F=∠DGH，
tan∠F=tan∠DGH=$\frac{DH}{DG}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)DH=3x，DG=4x，則GH=5x，
過D作DM⊥EF，交GH于N，交EF于M，
∴DN=$\frac{12}{5}$x，MN=AE=2，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}+（\frac{4}{3}\sqrt{13}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$，
S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE•DF=$\frac{1}{2}$EF•DM，
$\sqrt{13}$×$\frac{4\sqrt{13}}{3}$=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$×DM，
DM=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$，
由DN+MN=DM，得：$\frac{12}{5}x$+2=$\frac{4\sqrt{13}}{5}$，
x=$\frac{2\sqrt{13}-5}{6}$，
S=S_△DGH=$\frac{1}{2}$DH×DG=$\frac{1}{2}$×4x×3x=6x²=6×（$\frac{2\sqrt{13}-5}{6}$）²=$\frac{77}{6}$-$\frac{10\sqrt{13}}{3}$；

（3）分四種情況：
①如圖5，當(dāng)GF=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$時(shí)，
過F作FH⊥y軸于H，則GH=EH，
Rt△GED中，tan∠G=$\frac{ED}{GD}$=$\frac{FH}{GH}$，
∵ED=$\sqrt{3}$，GD=FG+DF=$\frac{5}{3}\sqrt{13}$+$\frac{4}{3}\sqrt{13}$=3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{13}}$=$\frac{FH}{GH}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)FH=a，GH=3a，則GF=$\sqrt{10}$a，
∴$\sqrt{10}$a=$\frac{5}{3}$$\sqrt{13}$，
a=$\frac{\sqrt{130}}{6}$，
∴FH=$\frac{\sqrt{130}}{6}$，
OH=OE+HE=2+3×$\frac{\sqrt{130}}{6}$=$\frac{\sqrt{130}}{2}$+2=$\frac{\sqrt{130}+4}{2}$，
∴F（$\frac{\sqrt{130}}{6}$，$\frac{\sqrt{130}+4}{2}$）；
②當(dāng)GF=GE時(shí)，如圖6，
過F作FH⊥y軸于H，
∴∠DFE=∠FEG，
∵∠FHE=∠FDE=90°，EF=EF，
∴△EFH≌△FED，
∴FH=ED=$\sqrt{13}$，HE=DF=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
∴OH=EH+OE=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$+2=$\frac{4\sqrt{13}+6}{3}$，
∴F（-$\sqrt{13}$，$\frac{4\sqrt{13}+6}{3}$）；
③當(dāng)FG=EF=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$時(shí)，如圖7，
DG=$\frac{5\sqrt{13}}{3}-\frac{4\sqrt{13}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
Rt△DEG中，
EG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}+（\frac{\sqrt{13}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{130}}{3}$，
過F作FH⊥y軸于H，
∵FG=EF，
∴GH=EH=$\frac{\sqrt{130}}{6}$，
∴OH=$\frac{\sqrt{130}}{6}$+2=$\frac{\sqrt{130}+12}{6}$，
S_△EGF=$\frac{1}{2}$GE•FH=$\frac{1}{2}$FG•DE，
$\frac{\sqrt{130}}{3}$FH=$\frac{5\sqrt{13}}{3}$×$\sqrt{13}$，
$\frac{\sqrt{130}}{3}$FH=$\frac{65}{3}$，
FH=$\frac{\sqrt{130}}{2}$，
∴F（-$\frac{\sqrt{130}}{2}$，$\frac{\sqrt{130}+12}{6}$）；
④當(dāng)EG=EF=$\frac{5}{3}$$\sqrt{13}$時(shí)，如圖8，
∴∠DFE=∠DGE，
∵ED⊥GF，
∴DF=DG=$\frac{4}{3}$$\sqrt{13}$，
∴FG=2DF=$\frac{8}{3}\sqrt{13}$，
tan∠DFE=tan∠DGE=$\frac{3}{4}$=$\frac{FH}{GH}$，
設(shè)FH=3b，GH=4b，則FG=5b，
則5b=$\frac{8}{3}$$\sqrt{13}$，
b=$\frac{8}{15}$$\sqrt{13}$，
∴FH=3b=3×$\frac{8}{15}$$\sqrt{13}$=$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，GH=4b=4×$\frac{8}{15}\sqrt{13}$=$\frac{32}{15}\sqrt{13}$，
∴OH=OE+EG-GH=OE+EF-GH=2+$\frac{5}{3}\sqrt{13}$-$\frac{32}{15}$$\sqrt{13}$=$\frac{30-7\sqrt{13}}{15}$，
∴F（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{30-7\sqrt{13}}{15}$）．
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為$（\frac{{\sqrt{130}}}{6}，\frac{{\sqrt{130}+4}}{2}）$或$（-\sqrt{13}，\frac{{4\sqrt{13}+6}}{3}）$或（-$\frac{\sqrt{130}}{2}$，$\frac{\sqrt{130}+12}{6}$）或（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{30-7\sqrt{13}}{15}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形和三角形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，比較復(fù)雜，運(yùn)用的知識(shí)較多，并采用了分類討論的思想，利用數(shù)形結(jié)合，解決問題，本題的2、3問容易丟解，要認(rèn)真思考．