Question

19．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，OA與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，且AB=OA，若△ABC的面積為6，則k的值為9．

Answer 1

分析 過(guò)A作AH⊥BO于H，AE⊥x軸于E，過(guò)C作CD⊥x軸于D，由點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，得到S_△AHO=S_△AOE=$\frac{1}{2}$k，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到S_△ABH=S_△AOH=$\frac{1}{2}$k，求得S_△AOB=k，由點(diǎn)C反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，得到S_△COD=$\frac{1}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：過(guò)A作AH⊥BO于H，AE⊥x軸于E，過(guò)C作CD⊥x軸于D，
∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，
∴S_△AHO=S_△AOE=$\frac{1}{2}$k，
∵AB=AO，
∴BH=OH，
∴S_△ABH=S_△AOH=$\frac{1}{2}$k，
∴S_△AOB=k，
∵點(diǎn)C反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$，
∵CD∥AE，
∴△COD∽△AOE，
∴$\frac{{S}_{△COD}}{{S}_{△AOE}}$=（$\frac{OC}{AO}$）²=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，
∴$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，
∵△ABC的面積為6，
∴$\frac{1}{\sqrt{k}}$=$\frac{k-6}{k}$，
解得k=9，k=4（不合題意，舍去），
∴k=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．