Question

6．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E．連接ED，若ED=EC．
（1）求證：AB=AC；
（2）填空：①若AB=6，CD=4，則BC=4$\sqrt{3}$；
②連接OD，當(dāng)∠A的度數(shù)為60°時(shí)，四邊形ODEB是菱形．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EDC=∠C，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；
（2）連接AE，由AB為直徑，可證得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，證明△CDE∽△CBA后即可求得BC的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAE=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{1}{2}$AD=BO，由菱形的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：①連接AE，
∵AB為直徑，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC=6，
∵∠C=∠C，∠CDE=∠B，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{4}{BC}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{6}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$；

（3）當(dāng)∠A=60°時(shí)，四邊形ODEB是菱形，
∵∠A=60°，
∴∠BAE=30°，
∵∠AEB=90°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AD=BO，
∴BE=DE=OB=OD，
∴四邊形ODEB是菱形，
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．