Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為4的正方形AOCB的頂點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸上，E為邊AB上的一點(diǎn)且AE=3，反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象過點(diǎn)E．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象與線段BC交于點(diǎn)D，且與過點(diǎn)D的直線y=kx+b相切，直線y=kx+b與線段AB相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）連接OF、OE，試問在直線y=kx+b是否存在一點(diǎn)G，使S_△OCG=3S_△OFE，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）由題意可知一次函數(shù)為y=kx+3-4k，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=kx+3-4k}\end{array}\right.$，消去y得到kx²+（3-4k）x-12=0，根據(jù)△=0求出k即可解決問題；
（3）設(shè)G（m，-$\frac{3}{4}$m+6），由題意$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{3}{4}$m+6|=3×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×4，解方程求出m即可解決問題；

解答 解：（1）由題意E（3，4），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的圖象過點(diǎn)E，
∴4=$\frac{m}{3}$，
∴m=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$．

（2）∵反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$的圖象與線段BC交于點(diǎn)D
∴D（4，3），
∵直線y=kx+b經(jīng)過D（4，3），
∴4k+b=3，
∴b=3-4k，
∴一次函數(shù)為y=kx+3-4k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=kx+3-4k}\end{array}\right.$，消去y得到kx²+（3-4k）x-12=0，
由題意△=0，
∴（3-4k）²+48k=0，
解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6，
∴F（$\frac{8}{3}$，4）．

（3）設(shè)G（m，-$\frac{3}{4}$m+6），
由題意$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{3}{4}$m+6|=3×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×4，解得m=$\frac{20}{3}$或$\frac{28}{3}$，
∴G（$\frac{20}{3}$，1）或（$\frac{28}{3}$，-1）．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．