Question

5．數(shù)學(xué)中，把長(zhǎng)與寬之比為$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$（或?qū)捙c長(zhǎng)之比為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）的矩形稱為黃金矩形．思考解決下列問(wèn)題：
（1）已知圖1中黃金矩形ABGF的長(zhǎng)AF=1，求AB的長(zhǎng)；
（2）黃金矩形有個(gè)奇妙的特性：把圖1中的黃金矩形ABGF，以AB為邊向矩形內(nèi)作正方形ABCD，則矩形DCGF是否為黃金矩形，是請(qǐng)予以證明，不是請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）黃金矩形使名畫《蒙娜麗莎》顯得特別和諧，專家分析畫中布局如圖2，期中最外面的矩形是黃金矩形，以黃金矩形的寬為邊向矩形內(nèi)部做正方形，由上小題知產(chǎn)生的小矩形為更小的黃金矩形，按此規(guī)律依次生成各黃金矩形，若圖3中最大黃金矩形的長(zhǎng)為a，則最小黃金矩形的長(zhǎng)是多少？

Answer 1

分析 （1）由黃金矩形的定義可得：$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，將AF=1代入，計(jì)算即可求出AB的長(zhǎng)；
（2）利用AB=DC=AD和$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，通過(guò)等量代換，求得$\frac{FD}{CD}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，得到矩形DCGF是黃金矩形；
（3）由$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，可得AB=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$AF，即CD=FG=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$AF，即以黃金矩形的寬為邊向矩形內(nèi)部做正方形，產(chǎn)生的小矩形的長(zhǎng)為原來(lái)矩形長(zhǎng)的$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，由圖可知，一共作正方形6次，所以最小黃金矩形的長(zhǎng)是（$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）⁶a．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
又∵AF=1，
∴AB=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；

（2）留下的矩形DCGF是黃金矩形．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC=AD，
又∵$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
即點(diǎn)D是線段AF的黃金分割點(diǎn)，$\frac{FD}{AD}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴$\frac{FD}{CD}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴矩形DCGF是黃金矩形；

（3）若圖3中最大黃金矩形的長(zhǎng)為a，由題意，可得最小黃金矩形的長(zhǎng)是（$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）⁶a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了黃金分割：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）叫做黃金比．理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．