Question

8．如圖所示，小島P的周圍20$\sqrt{2}$海里內有暗礁，某漁船沿北偏東60°的AM方向航行，在A處測得小島P的方向為北偏東30°，且距A處40海里，該漁船若不改變航向，有無觸礁的可能？若有可能觸礁，則該漁船在A處應再向北偏東至少偏離多大角度才能脫險？

Answer 1

分析 作PB⊥AM于M，求出PB的長即可判斷是否觸礁，作⊙P的切線AE，切點為E，利用三角函數即可求出∠PAE，進而得到漁船在A處應再向北偏東至少偏離多大角度才能脫險．

解答 解：如圖，作PB⊥AM于M．
∵∠DAB=60°，∠DAP=30°，
∴∠PAB=60°-30°=30°，
∴PB=AP•sin30°=20海里＜20$\sqrt{2}$（海里），
∴該漁船若不改變航向，有觸礁的可能；
作⊙P的切線AE，切點為E．
∴sin∠PAE=$\frac{20\sqrt{2}}{40}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠PAE=45°，
∴∠DAE=30°+45°=75°，∠MAE=75°-60°=15°．
答：有可能觸礁，該漁船在A處應再向北偏東至少偏離15°才能脫離危險．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，銳角三角函數的定義，根據題意準確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．