Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在邊BC上，AD=BD=5，sin∠ADC=$\frac{4}{5}$．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）如果邊AB的中點為M，聯(lián)結(jié)CM，交AD于點E，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦的概念和AD的值，求出AC和BC，得到AB的長，根據(jù)余弦概念求出答案；
（2）作MF∥AD交BC于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理MF和DE，計算得到答案．

解答 解：（1）∵sin∠ADC=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{4}{5}$，AD=5，
∴AC=4，
由勾股定理得CD=3，
則BC=3+5=8，
由勾股定理得AB=4$\sqrt{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）作MF∥AD交BC于F，
∵邊AB的中點為M，
∴BF=FD=$\frac{5}{2}$，MF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$，
$\frac{DE}{MF}$=$\frac{CD}{CF}$=$\frac{6}{11}$，
∴DE=$\frac{15}{11}$，AE=5-$\frac{15}{11}$=$\frac{40}{11}$．

點評 本題考查的是解直角三角形的知識，掌握銳角三角函數(shù)的概念和平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法要準(zhǔn)確．