Question

17．在一個m（m≥3，m為整數(shù)）位的正整數(shù)中，若從左到右第n（n≤m，n為正整數(shù)）位上的數(shù)字與從右到左第n位上的數(shù)字之和都等于同一個常數(shù)k（k為正整數(shù)），則稱這樣的數(shù)為“對稱等和數(shù)”．例如在正整數(shù)3186中，因為3+6=1+8=9，所以3186是“對稱等和數(shù)”，其中k=9．再如在正整數(shù)53697中，因為5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“對稱等和數(shù)”，其中k=12．
（1）已知在一個能被11整除的四位“對稱等和數(shù)”中k=4．設(shè)這個四位“對稱等和數(shù)”的千位上的數(shù)字為s（1≤s≤9，s為整數(shù)），百位上的數(shù)字為t（0≤t≤9，t為整數(shù)），$\frac{st}{2}$是整數(shù)，求這個四位“對稱等和數(shù)”；
（2）已知數(shù)A，數(shù)B，數(shù)C都是三位“對稱等和數(shù)”．A=$\overline{1a5}$（1≤a≤9，a為整數(shù)），設(shè)數(shù)B十位上的數(shù)字為x（0≤x≤9，x為整數(shù)），數(shù)C十位上的數(shù)字為y（0≤y≤9，y為整數(shù)），若A+B+C=1800，求證：y=-x+15．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四位“對稱等和數(shù)”中k=4得：s≤4，t≤4，分別令s=1，2，3，4進行討論，由$\frac{st}{2}$是整數(shù)，可得對應(yīng)t的值，分別寫出可能的四位數(shù)，根據(jù)能被11整除的特征：把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數(shù)（包括0），那么，原來這個數(shù)就一定能被11整除；可知，只有2222和4400能被11整除；
（2）先根據(jù)對稱等和數(shù)的定義，得2a=1+5，a=3，則A=135，設(shè)：B=$\overline{bxc}$，C=$\overline{dye}$，則b+c=2x，d+e=2y，根據(jù)已知得：$\overline{（b+d）（x+y）（c+e）}$=1665，即百位上的數(shù)字和為15或16，分情況進行討論即可．

解答 （1）解：當(dāng)s=1時，
∵$\frac{st}{2}$是整數(shù)，
∴t為偶數(shù)，
∵k=4，
∴t≤4，
∴t=2或4，
則這個四位“對稱等和數(shù)”可以是：
①1223，不能被11整除，不符合條件；
②1403，不能被11整除，不符合條件；
當(dāng)s=2時，
∵$\frac{st}{2}$是整數(shù)，
∴t=1，2，3，4，
則這個四位“對稱等和數(shù)”可以是：
③2132，不能被11整除，不符合條件；
④2222，2222÷11=202，符合條件；
⑤2312，不能被11整除，不符合條件；
⑥2402，不能被11整除，不符合條件；
當(dāng)s=3時，
∵$\frac{st}{2}$是整數(shù)，t≤4，
∴t=2或4，
則這個四位“對稱等和數(shù)”可以是：
⑦3221，不能被11整除，不符合條件；
⑧3401，不能被11整除，不符合條件；
當(dāng)s=4時，
同理得t=1，2，3，4，
分別為4130，4220，4310，4400，只有4400能被11整除；
綜上所述，這個四位“對稱等和數(shù)”有2個，分別是：2222，4400；
（2）證明：∵數(shù)A是三位“對稱等和數(shù)”，且A=$\overline{1a5}$（1≤a≤9，a為整數(shù)），
∴2a=1+5，a=3，
∴A=135，
由題意設(shè)：B=$\overline{bxc}$，C=$\overline{dye}$，則b+c=2x，d+e=2y，
∵A+B+C=1800，
∴B+C=1800-135=1665，
∴$\overline{（b+d）（x+y）（c+e）}$=1665，
∴15≤b+d≤16，
①當(dāng)b+d=15時，x+y=16，c+e=5，
∴b+d+c+e=15+5=20，
即2x+2y=20，
x+y=10≠16，不符合題意；
②當(dāng)b+d=15時，x+y=15，c+e=15，
∴∴b+d+c+e=15+15=30，
即2x+2y=30，
x+y=15，符合題意；
∴y=-x+15，
③當(dāng)b+d=16時，x+y=6，c+e=5，
∴b+d+c+e=16+5=21，
即2x+2y=21，
x+y=10.5≠6，不符合題意；
④當(dāng)b+d=16時，x+y=5，c+e=15，
∴b+d+c+e=16+15=31，
即2x+2y=31，
x+y=15.5≠5，不符合題意；
綜上所述，則y=-x+15．

點評 本題考查了新定義和實數(shù)的運算，比較復(fù)雜，理解對稱等和數(shù)的定義是關(guān)鍵，注意象奇數(shù)位的對稱等和數(shù)中間的數(shù)與其他數(shù)的關(guān)系：如53697是“對稱等和數(shù)”，則5+7=3+9=6+6=12．