Question

2．如圖，以扇形OAB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），扇形的圓心角是60°．若拋物線y=x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． -4＜k＜$\frac{3}{4}$
• B． -2＜k＜$\frac{3}{4}$
• C． -4＜k＜$\sqrt{3}$-1
• D． -2＜k＜$\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 作AC⊥OB于C，利用正弦、余弦的概念求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，聯(lián)立拋物線解析式得到拋物線與OA相切時(shí)k的值，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求出k，根據(jù)題意解答即可．

解答 解：作AC⊥OB于C，
在Rt△AOC中，OC=$\frac{1}{2}$OA=1，AC=OA×sin60°=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線OA的解析式為y=mx，則m=$\sqrt{3}$，
則直線OA的解析式為y=$\sqrt{3}$x，
聯(lián)立拋物線解析式得x²+k=$\sqrt{3}$x，即x²-$\sqrt{3}$x+k=0，
△=3-4k=0，
解得k=$\frac{3}{4}$
當(dāng)拋物線經(jīng)過當(dāng)B時(shí)，0=4+k，
解得k=-4，
∴拋物線y=x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-4＜k＜$\frac{3}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及軟件三角函數(shù)的概念的應(yīng)用，根據(jù)題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．