Question

12．如圖，在?ABCD中，AB=5，AD=8，BE平分∠ABC，交AD于點E，CF平分∠BCD，交AD于點F．
（1）求EF；
（2）你能發(fā)現(xiàn)BE與CF有什么關(guān)系嗎？并證明之．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知∠AEB=∠EBC，又因為BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC，則∠ABE=∠AEB，則AB=AE=5，同理可證FD=5，即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線定義得出∠BMC=90°，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠AEB=∠EBC，AB∥CD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
則∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
同理可證：DF=DC=AB=5，
則EF=AE+FD-AD=5+5-8=2；
（2）BE⊥CF，理由如下：
如圖所示：
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠BMC=90°，
∴BE⊥CF．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定；在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．