Question

7．已知一次函數(shù)y=kx+2的圖象于x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與y軸正半軸交于點(diǎn)D，且OC=OD，在直線CD找到一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A（4，0）、B（10，0）距離和最小，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，并算出PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到C（-2，0），D（0，2），∠DCO=45°，一次函數(shù)的解析式為y=x+2，作A關(guān)于直線y=x+2的對稱點(diǎn)A′，得到AA′⊥CD，PA+PB的最小值=A′B，求得A′（-2，6），直線A′B的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5，列方程組得到P（2，4），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：∵OC=OD，
∴C（-2，0），D（0，2），
∴∠DCO=45°，一次函數(shù)的解析式為y=x+2，
作A關(guān)于直線y=x+2的對稱點(diǎn)A′，
∴AA′⊥CD，PA+PB的最小值=A′B，
∴A′（-2，6），
∴直線A′B的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+5}\\{y=x+2}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴P（2，4），
∴A′B=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴PA+PB的最小值為6$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．