Question

4．直線MN與直線PQ相交于O，點A在射線OP上運動，點B 在射線OM上運動．
（1）如圖1，若∠AOB=80°，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大�。�
（2）如圖2，若∠AOB=80°，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，AD、BC的延長線交于點F，點A、B在運動的過程中，∠F=50°；DE、CE又分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小也不發(fā)生變化，其大小為：∠CED=65°．
（3）如圖3，若∠AOB=90°，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線相交于E、F，則∠EAF=90°；
（4）如圖3，若AF，AE分別是∠GAO，∠BAO的角平分線，∠AOB=90°，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的4倍，則∠ABO的度數(shù)=36°或45°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線得出∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）延長AD、BC交于點F，根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=280°，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，可知∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=50°，再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE，進而得出結(jié)論；
（3））由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，進而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°；
（4）在△AEF中，由一個角是另一個角的4倍分四種情況進行分類討論．

解答 解：（1）∠AEB的大小不變，
∵直線MN與直線PQ相交于O，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB+∠OBA=80°，
∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠OAB+∠ABO）=50°，
∴∠AEB=130°；

（2）∠CED的大小不變．
延長AD、BC交于點F．
∵直線MN與直線PQ相交于O，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB+∠OBA=80°，
∴∠PAB+∠MBA=280°，
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠ABM）=140°，
∴∠F=50°，
∴∠FDC+∠FCD=140°，
∴∠CDA+∠DCB=220°，
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，
∴∠CDE+∠DCE=115°，
∴∠E=65°；
故答案為：50°，65°；

（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=$\frac{1}{2}$（∠BOQ-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，
∴∠EAF=90°；
故答案為：90°；

（4）在△AEF中，∵有一個角是另一個角的4倍，故有：
①∠EAF=4∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
②∠EAF=4∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）；
③∠F=4∠E，∠E=18°，∠ABO=36°；
④∠E=4∠F，∠E=72°，∠ABO=144°（舍去）．
∴∠ABO為36°或45°．
故答案為：36°或45°．

點評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．