Question

5．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（m，n），定義一種變換：作點(diǎn)P（m，n）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P′，再將P′向左平移k（k＞0）個(gè)單位得到點(diǎn)P_k′，P_k′叫做對(duì)點(diǎn)P（m，n）的k階“?”變換．若一個(gè)函數(shù)圖象上所有點(diǎn)都進(jìn)行了k階“?”變換后組成的圖形稱為此函數(shù)進(jìn)行了k階“?”變換后的圖形．
（1）求P（3，2）的3階“?”變換后P₃′的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x+1經(jīng)過(guò)k階“?”變換后的圖象與反比例函數(shù)的圖象y=$\frac{2}{x}$沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．
（3）若拋物線C₁：y=x²-4x+3與直線l：y=-x+3交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C₁經(jīng)過(guò)k階“?”變換后的圖象記為C₂，C₂與直線l交于C，D兩點(diǎn)，若$\frac{CD}{AB}$=$\frac{7}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）k階“?”變換的定義，即可求出3階“?”變換后P₃′的坐標(biāo)．
（2）直線y=x+1經(jīng)過(guò)k階“?”變換后的解析式為y=-x-k+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x-k+1}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-1）x+2=0，由題意△＜0，解不等式即可．
（3）由題意C₂的解析式為y=（-x-k）²-4（-x-k）+3，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=（-x-k）^{2}-4（-x-k）+3}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2k+5）x+k²+4k=0，可得x₁+x₂=-（2k+5），x₁x₂=k²+4k，y₂-y₁=-（x₂-x₁），推出CD=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（2k+5）^{2}-4（{k}^{2}+4k）]}$=$\sqrt{8k+50}$，求出AB，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）點(diǎn)P（3，2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（-3，2），再將P′向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)P₃′（-6，2）．

（2）直線y=x+1經(jīng)過(guò)k階“?”變換后的解析式為y=-x-k+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x-k+1}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-1）x+2=0，
∵直線y=x+1經(jīng)過(guò)k階“?”變換后的圖象與反比例函數(shù)的圖象y=$\frac{2}{x}$沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴△＜0，
∴（k-1）²-8＜0，
∴1-2$\sqrt{2}$＜k＜1+2$\sqrt{2}$．

（3）由題意C₂的解析式為y=（-x-k）²-4（-x-k）+3，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
不妨設(shè)A（0，3），B（3，0），則AB=3$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=（-x-k）^{2}-4（-x-k）+3}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2k+5）x+k²+4k=0，
∴x₁+x₂=-（2k+5），x₁x₂=k²+4k，y₂-y₁=-（x₂-x₁），
∴CD=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（2k+5）^{2}-4（{k}^{2}+4k）]}$=$\sqrt{8k+50}$，
∵$\frac{CD}{AB}$=$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{8K+50}{18}$=$\frac{49}{9}$，
∴k=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、k階“?”變換的定義、一次函數(shù)、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)求k階“?”變換后的直線、拋物線的解析式是難點(diǎn)，學(xué)會(huì)利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．