Question

20．觀察下列各式：
①f（1）=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；②f（2）=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$；③f（3）=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2}$；④f（4）=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{2}$…
回答下列問題：
（1）利用你觀察到的規(guī)律求f（n）；
（2）計(jì)算：（2$\sqrt{2015}$+2）[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目所給的式子，可得f（n）=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2}$；
（2）根據(jù)式子規(guī)律，將各個(gè)數(shù)代入，進(jìn)行化簡(jiǎn)求解．

解答 解：（1）f（n）=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2}$；

（2）原式=2（$\sqrt{2015}$+1）[$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{2}$]
=（$\sqrt{2015}$+1）[$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$]
=（$\sqrt{2015}+1$）（$\sqrt{2015}$-1）
=2015-1
=2014．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目找出規(guī)律，寫出f（n）的代數(shù)式．