Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為（2，4），請解答下列問題：
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A₁B₁C₁，并寫出A₁的坐標．
（2）求直線BC與y軸的交點D的坐標．
（3）在x軸上有一個動點P，當|PA-PB|的值最大時，點P的坐標為（0，0）．

Answer 1

分析 （1）找出A、B、C三點的對稱點，再連接即可；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)B、C兩點坐標求出BC的解析式，再計算出與y軸的交點坐標即可；
（3）由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當A、B、P三點不共線時，|PA-PB|＜AB，又因為A（2，4），B（1，2）兩點都在x軸同側(cè)，則當A、B、P三點共線時，|PA-PB|=AB，即|PA-PB|≤AB，所以本題中當點P到A、B兩點距離之差的絕對值最大時，點P在直線AB上．先運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再令y=0，求出x的值即可．

解答 解：（1）如圖所示：A₁的坐標（2，-4）；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵經(jīng)過B（1，2），C（5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{3=5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{7}{4}$；
當x=0時，y=$\frac{7}{4}$，
∴與y軸的交點D的坐標（0，$\frac{7}{4}$）；

（3）當|PA-PB|的值最大時，點P在直線AB上；
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+a，
∵經(jīng)過A（2，4），B（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{2=k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=2x，
當y=0時，x=0，
∴P（0，0）．
故答案為：（0，0）．

點評 此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系定理，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及x軸上點的坐標特征，以及作軸對稱圖形．根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊得出當點P在直線AB上時，P點到A、B兩點距離之差的絕對值最大，是解題的關(guān)鍵．