Question

17．如圖，B點的坐標為（10，0），點A是OB上的一個動點，且OA＜AB，分別以OA、AB為邊在x軸上方作等邊△OAC和等邊△ABD，連接CD，E為CD的中點，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點E，若AE=$\frac{\sqrt{79}}{2}$時，則k=10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作EH⊥OB于H點，則EH為梯形CMND的中位線，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)得EH、HM的長度，從而求得AH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$；再在直角△AEH中，利用勾股定理得AE²=AH²+EH²，即（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，通過解該方程求得t的值，則易確定E點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式可得到k的值．

解答 解：作EH⊥OB于H點，如圖，
設點A的坐標為（t，0）．
∵E為CD的中點，
∴EH為梯形CMND的中位線，
∴EH=$\frac{1}{2}$（CM+DN）=$\frac{1}{2}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t）]=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，HM=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（ON-OM）=$\frac{1}{2}$[t+$\frac{1}{2}$（10-t）-$\frac{1}{2}$t]=$\frac{5}{2}$，
∴AH=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$t或$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$，
在Rt△AEH中，AE²=EH²+AH²，
（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{5-t}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{79}}{2}$）²，
∴解得：t₁=3，t₂=7，
當t=3時，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$t=4，
∴E點坐標為（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把E（4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=y=$\frac{k}{x}$得k=4×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$；
當t=7時，OH=$\frac{5}{2}$+$\frac{t}{2}$=6，
∴E點坐標為（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
把E（6，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=6×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=15$\sqrt{3}$；
綜上所述：k的值為10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．
故答案是：10$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其函數(shù)解析式，運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識，用未知數(shù)表示出EH，AH的長是解題關鍵．