Question

3．如圖，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于點O．若E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，且OE⊥OF，則△OEF周長的最小值是2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的對角線互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，對角線平分一組對角可得∠OAE=∠OBF，再根據(jù)AE=BF，然后利用“SAS”證明△AOE和△BOF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，
∵點E、F的速度相等，
∴AE=BF，
在△AOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=BO}\\{∠OAE=∠OBF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠EOF=90°，
在Rt△BEF中，設(shè)AE=x，則BF=x，BE=2-x，
EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（2-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-1）^{2}+2}$．
∴當(dāng)x=1時，EF有最小值為$\sqrt{2}$．
∴OE=OF=1．
∴△OEF周長的最小值=2+$\sqrt{2}$．
故答案為：2$+\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)，求出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．