Question

7．如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠ADC=120°，P、Q分別是線段AB、AC上的動點，則PQ+BQ的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過點P作關于AC對稱點P′，連接BP'交AC于點Q'，由菱形的軸對稱性質可知點P'在AD上，然后根據(jù)直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質可知BP′⊥AD時BP′=BQ′+PQ′的值最小，然后求解即可．

解答 解：
過點P作關于AC對稱點P′，連接BP'交AC于點Q，
∵四邊形ABCD是菱形，AC為對角線，
∴點P'在AD上，
∵P'Q'=PQ'，
∴PQ'+BQ'=BQ′+PQ′=BP'，
∵直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短，
∴BP′⊥AD，
∵∠ADC=120°，
∴∠DAC=60°，
∴∠ABP′=30°
∵AB=2，
∴AP′=1，
∴BP′=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了菱形的性質，軸對稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路線的方法是解題的關鍵．