Question

15．已知拋物線C₁：y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c的對(duì)稱軸是x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，0）．
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）將拋物線C₁向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C₂，如圖，直線y=kx-2k+1交拋物線C₂于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交拋物線C₂的對(duì)稱軸于點(diǎn)C，M（x_A，3），xA表示點(diǎn)A橫坐標(biāo)，求證：AC=AM；
（3）在（2）的條件下，請(qǐng)你參考（2）中的結(jié)論解決下列問(wèn)題：
①若CM=AM，求$\frac{CB}{CA}$的值；
②請(qǐng)你探究：在拋物線C₂上是否存在點(diǎn)P，使得PO+PC取得最小值？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），則可設(shè)交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（2）利用拋物線的平移變換規(guī)律得到拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，再確定直線y=kx-2k+1過(guò)定點(diǎn)（2，1），從而得到C（2，1），設(shè)A[x，-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2）]，然后利用兩點(diǎn)的距離公式證明AC=AM；
（3）①直線y=3交直線x=2于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥直線y=3于點(diǎn)E，如圖1，則利用（2）的結(jié)論可證明△ACM是等邊三角形，BC=BE，易證∠MCD=60°，∠BCE=∠DCE=30°，利用解直角三角形得到$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{CD}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{CB}{CA}$=$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$；
②如圖2，y軸與拋物線的交點(diǎn)記作點(diǎn)P，與直線y=3的交點(diǎn)記作點(diǎn)H，由（2）可知PC=PH，如圖，在拋物線上取異于點(diǎn)P的P′，作P′H′⊥直線y=3于H′，P′Q⊥y軸于點(diǎn)Q，由（2）可知P′C=PH′，易得四邊形HH′P′Q為矩形，則P′H′=QH，然后利用OP′＞OQ得到OP+PH＜OP′+P′C，于是可判斷點(diǎn)P（0，1）使得PO+PC取得最小值．

解答 （1）解：∵拋物線C₁的對(duì)稱軸為直線x=2，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6），
即y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3；
（2）證明：∵拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+4，
∴拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，
∵直線y=kx-2k+1過(guò)定點(diǎn)（2，1），
而直線y=kx-2k+1交拋物線C₂的對(duì)稱軸于點(diǎn)C，
∴C（2，1），
設(shè)A[x，-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2）]，
∴AC²=（x-2）²+[-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2-1]²=$\frac{1}{16}$（x-2）⁴+$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
AM²=[-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2-3]²=$\frac{1}{16}$（x-2）⁴+$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
∴AC=AM；
（3）解：①∵AC=AM，CM=AM，
∴△ACM是等邊三角形．
∴∠AMC=∠ACM=60°，
直線y=3交直線x=2于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥直線y=3于點(diǎn)E，如圖1，則由（2）可知BC=BE，易證∠MCD=60°，∠BCE=∠DCE=30°，
在Rt△CDE中，tan∠DCE=tan30°=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△CDM中，tan∠CMD=tan30°=$\frac{CD}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$，
∵AM∥DC∥EB，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{DE}{DM}$=$\frac{1}{3}$；
②存在．
如圖2，y軸與拋物線的交點(diǎn)記作點(diǎn)P，與直線y=3的交點(diǎn)記作點(diǎn)H，
由（2）可知PC=PH，
如圖，在拋物線上取異于點(diǎn)P的P′，作P′H′⊥直線y=3于H′，P′Q⊥y軸于點(diǎn)Q，
由（2）可知P′C=PH′，
易得四邊形HH′P′Q為矩形，
∴P′H′=QH，
∵OP′＞OQ，
∴OQ+QH＜OP′+P′H′，
∴OP+PH＜OP′+P′C，
∴點(diǎn)P（0，1）使得PO+PC取得最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)解直角三角形．