Question

5．某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷(xiāo)期間銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于30%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)關(guān)系，且x=55時(shí)，y=45；x=65時(shí)，y=35．
（1）求銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）符合的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫(xiě)出利潤(rùn)W與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于300元，試確定銷(xiāo)售單價(jià)x的范圍．

Answer 1

分析 （1）列出二元一次方程組解出k與b的值即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）依題意求出W與x的函數(shù)表達(dá)式，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解答商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)；
（3）把w=300代入（2）中二次函數(shù)表達(dá)式，解方程即可確定銷(xiāo)售單價(jià)x的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意得
$\left\{\begin{array}{l}{55k+b=45}\\{65k+b=35}\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=100．
所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+100．
（2）W=（x-60）•（-x+100）
=-x²+160x-6000
=-（x-80）²+400，
∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x＜80時(shí)，W隨x的增大而增大，
∵銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于30%，
即60≤x≤60×（1+30%），
∴60≤x≤78，
∴當(dāng)x=78時(shí)，W=-（78-80）²+400=396．
∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為78元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是396元．
（3）由W≥300，得300≤-x²+160x-6000，
整理得，x²-160x+6300≤0，
而方程x²-160x+6300=0的解為 x₁=70，x₂=90．
即x₁=70，x₂=90時(shí)利潤(rùn)為300元，而函數(shù)W=-x²+160x-6000的開(kāi)口向下，所以要使該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于300元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)在70元到90元之間，
而60元/件≤x≤78元/件，
所以，銷(xiāo)售單價(jià)x的范圍是70元/件≤x≤78元/件．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，熟悉簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)建模思想以及二次函數(shù)性質(zhì)和不等式的應(yīng)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．