Question

12．如圖，O是邊長為1的等邊△ABC的中心，將AB、BC、CA分別繞點A、點B、點C順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），得到AB'、BC'、CA'，連接A'B'、B'C'、A'C'、
OA'、OB'．當(dāng)α=150°時，△A'B'C'的周長最大，最大值為$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．．

Answer 1

分析 如圖，連接OA、OB、OC、OC′．由△OAB′≌△OCA′，推出∠A′OB′=∠A′OC′=∠B′OC′=120°，△A′B′C′是等邊三角形，當(dāng)O、C、A′共線時，OA′=OC+CA′=OC+CA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1時，OA′最長，此時△A′B′C′的最長最大．

解答 解：如圖，連接OA、OB、OC、OC′．

∵O是等邊三角形△ABC是中心，
∴∠BAO=∠ACO=30°，OA=OC，
，∵∠BAB′=∠ACA′=α，
∴∠OAB′=∠OCA′，
在△OAB′和△OCA′中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAB′=∠OCA′}\\{AB′=CA′}\end{array}\right.$，
∴△OAB′≌△OCA′，
∴∠AOB′=∠COA′，OA′=OB′
∴∠A′OB′=∠AOC=120°，同理可證∠A′OC′=∠C′OB′=120°，OA′=OC′
則有△A′OB′≌△A′OC′≌△C′OB′，
∴A′B′=A′C′=B′C′，
在△A′OB′中，∵∠A′OB′=120°，OB′=OA′，
∴當(dāng)OA′最長時，A′B′最長，
∵OA′≤OC+CA′，
∴當(dāng)O、C、A′共線時，OA′=OC+CA′=OC+CA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1時，OA′最長，
此時A′B′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，α=150°，
∴△A′B′C′的最長的最大值為$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案為150，$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、最大值問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用全等三角形的判定，學(xué)會利用三角形的三邊關(guān)系解決最大值問題，屬于中考�？碱}型．