Question

3．已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，在拋物線的對稱軸上找一點H，使△CDH的周長最小，求出H點的坐標并求出最小周長值．
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合），經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求面積的最小值及E點坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A（3，0），B（4，1）的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）如圖1中，連接DC、AC，AC交對稱軸于H，連接DH，此時△CDH的周長最�。�
（3）如圖2中，作BD⊥OA于D．首先證明△EOF是等腰直角三角形，當OE⊥AC時，△EOF的面積最�。�

解答 解：（1）將點A（3，0），B（4，1）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{14a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
故函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；


（2）如圖1中，連接DC、AC，AC交對稱軸于H，連接DH，此時△CDH的周長最小．

∵A、D關(guān)于對稱軸對稱，HD=HA，x
∴DH+CH=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△CDH的周長的最小值為5+$\sqrt{13}$，
∵A（3，0），C（3，0），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
∴H（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

（3）如圖2中，作BD⊥OA于D．

∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴OA=OC=3，AD=BD=1，
∴∠OAC=∠BAD=45°，
∵∠OAF=∠BAD=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF是△AEO的外接圓的直徑，
∴∠EOF=90°，
∴∠EFO=∠EAO=45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴當OE最小時，△EOF的面積最小，
∵OE⊥AC時，OE最小，OC=OA，
∴CE=AE，OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），S_△EOF=$\frac{1}{2}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$．
∴當△OEF的面積取得最小值時，面積的最小值為$\frac{9}{4}$，E點坐標（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 題主要考查了二次函數(shù)的綜合，主要利用了拋物線與x軸的交點間的距離的表示，拋物線上點的坐標特征，直角三角形的判定，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，（3）題，根據(jù)點A、B、C的坐標求出45°角，從而得到△EOF是等腰直角三角形解題的關(guān)鍵，題目構(gòu)思靈活，數(shù)據(jù)設(shè)計巧妙．