Question

10．【圖形定義】
用一條直線去截一個(gè)多邊形，如果截得的一個(gè)圖形與原多邊形相似，那么稱這條直線是這個(gè)多邊形的特征線．
【概念理解】
如圖1，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，過點(diǎn)C作一條直線交AB于點(diǎn)D，若直線CD是△ABC的特征線，求∠ACD的度數(shù)；
【問題探究】
如圖2，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC是對角線，作DE⊥AC，垂足為E，DE的延長線交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線FG⊥AD，垂足為G，則直線FG是矩形ABCD的特征線嗎？請說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形討論①如圖1中，直線CD是△ABC的特征線，此時(shí)△ACD∽△ABC．②如圖3中，直線CD是△ABC的特征線，此時(shí)△CBD∽△ABC，分別求解即可．
（2）結(jié)論：直線FG是矩形的特征線．只要證明△DCF∽△ADC，推出$\frac{CF}{DC}$=$\frac{DC}{AD}$，推出矩形DCFG∽矩形ABCD，即可．

解答 解：（1）①如圖1中，直線CD是△ABC的特征線，

此時(shí)△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B，
∵∠B=60°，
∴∠ACD=60°．
②如圖3中，直線CD是△ABC的特征線，

此時(shí)△CBD∽△ABC，
∴∠BCD=∠A，
∵∠A=50°，
∴∠BCD=50°，
∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-50°=20°．

（2）結(jié)論：直線FG是矩形的特征線．

證明：如圖2中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DCF=90°，
∵FG⊥AD，
∴∠DGF=90°，
∴四邊形DCFG是矩形，
∵DF⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠DAC=90°，
∴∠CDE=∠DAC，
∵∠DCF=∠ADC，
∴△DCF∽△ADC，
∴$\frac{CF}{DC}$=$\frac{DC}{AD}$，
∴矩形DCFG∽矩形ABCD，
∴直線FG是矩形ABCD的特征線．

點(diǎn)評 本題考查矩形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，掌握相似多邊形的判定方法，屬于中考壓軸題．