Question

5．平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AD，E、F、G分別是OC、OD，AB的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．其中正確的是①②④．

Answer 1

分析 由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出EF∥CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD=BG，結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由BD=2BC得出BO=BC，即而得出BE⊥AC，由中線的性質(zhì)可知GP∥BE，且GP=$\frac{1}{2}$BE，AO=EO，通過(guò)證△APG≌△EPG得出AG=EG=EF得出①成立，再證△GPE≌△FPE得出④成立，此題得解．

解答 解：令GF和AC的交點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖所示：
∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∴∠FEG=∠BGE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=FE，
在△EFG和△GBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=FE}&{\;}\\{∠FEG=∠BGE}&{\;}\\{GE=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∵BD=2BC，點(diǎn)O為平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)，
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=BC，
∵E為OC中點(diǎn)，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE，G為AB中點(diǎn)，
∴P為AE中點(diǎn)，即AP=PE，且GP=$\frac{1}{2}$BE，
在△APG和△EGP中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=EP}&{\;}\\{∠APG=∠EPG}&{\;}\\{GP=GP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG=EG=$\frac{1}{2}$AB，
∴EG=EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四邊形BGFE為平行四邊形，
∴GF=BE，
∵GP=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$GF，
∴GP=FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90°
在△GPE和△FPE中，$\left\{\begin{array}{l}{GP=FP}&{\;}\\{∠GPE=∠FPE}&{\;}\\{EP=EP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP=∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理以及平行線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是利用中位線，尋找等量關(guān)系，借助于證明全等三角形找到邊角相等．