Question

15．等腰三角形是生活中常見的幾何圖形，我們稱有兩邊相等的三角形是等腰三角形，類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中添加一個(gè)條件AB=BC，使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”；
（2）如圖2，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，AC=BD，且對(duì)角線AC、BD互相平分，請(qǐng)你證明“等鄰邊四邊形”ABCD是正方形；
（3）如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD為對(duì)角線，AC=$\sqrt{5}$AB，試探究BC、CD、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用“等鄰邊四邊形”的定義添加條件即可．
（2）用矩形和菱形的判定，先判斷出四邊形既是矩形，又是菱形，從而得到它是正方形；
（3）先判斷出△ACF∽△ABD，得到CF=$\sqrt{5}$BD，再求出∠CBF=90°，最后用勾股定理即可求解．

解答 （1）解：添加條件：AB=BC，理由如下：
∵四邊形ABCD是凸四邊形，且AB=BC，
∴四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”；
故答案為：AB=BC．

（2）證明：∵對(duì)角線AC、BD互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形
又∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形
又∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形；

（3）解：BC²+CD²=5BD²，理由如下：
∵AB=AD，
∴將△ADC線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABF，連接CF，如圖所示：
則有△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，
在△ACF和△ADB中，
∵∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AD}=\frac{AF}{AB}$，
∴△ACF∽△ADB，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∵AC=$\sqrt{5}$AB，
∴CF=$\sqrt{5}$BD，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=270°
即∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC²+FB²=CF²=（$\sqrt{5}$BD）²=5BD²，
∴BC²+CD²=5BD²，

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了新定義的理解，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線分別判斷出三角形相似和全等．