Question

20．矩形ABCD中，AB=CD=18cm，以AB為邊向上作正△ABE，AE、BE分別交CD于F、G，DF=5cm，兩動點P、Q運動速度分別為4cm/s、v（cm/s）．
（1）AF的長為10 cm；
（2）若點P從A出發(fā)沿線段AB向B運動，同時點Q從B出發(fā)沿線段BE向點E運動，設(shè)運動時間為t（s），在運動過程中，以A、F、P為頂點的三角形和以P、B、Q為頂點的三角形全等，求Q的運動速度v；
（3）若點Q以（2）中的速度從點B出發(fā)，同時點P以原來的速度從點A出發(fā)，逆時針沿四邊形ABGF運動．問P、Q會不會相遇？若不相遇，說明理由．若相遇，請求出經(jīng)過多長時間P、Q第一次在四邊形ABGF的何處相遇？

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出相等的線段，得出方程，解方程即可；注意討論；
（3）分兩種情況討論，根據(jù)路程、時間、速度關(guān)系進行分析解答．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是矩形，△ABE是等邊三角形，
∴AB∥CD，AE=AB=18cm，
由對稱性得：CG=DF=5cm，
∴FG=CD-DF-CG=8cm，AF=10cm，
∴EF=FG=8cm，
∴AF=AE-EF=10cm，
故答案為：10；

（2）解：又題意得：AP=4t，PB=18-4t，
①當(dāng)△AFP≌△BPQ時，PB=AF，
即：18-4t=10，
∴t=2s，
此時：AP=4t=8cm=BQ，
2V=8，
∴V=4cm\s

②當(dāng)△AFP≌△BQP時，AF=BQ，AP=PB，
即：4t=18-4t    解得：t=$\frac{9}{4}$s，
∵$\frac{9}{4}$V=10，∴V=$\frac{40}{9}$cm/s，

（3）解：①當(dāng)Q的速度為V=4cm\s時，因為點P的速度也為4cm\s∴P，Q不會相遇
②當(dāng)點Q的速度為V=$\frac{40}{9}$cm/s時，
∵$\frac{40}{9}$cm/s＞4cm/s，
∴點Q能追上點P
設(shè)：追上的時間為xs．
又∵P，Q沿逆時針運動，Q、P距離為28cm
根據(jù)題意得：$\frac{40}{9}$x-4x=28，
解得：x=63，
又∵P的速度為4cm\s，
∴P運動63s共走了：4×63=252cm
而P從A出發(fā)逆時針，沿四邊形ABGF的邊運動，轉(zhuǎn)一圈為46cm
∵46×5+22=252cm，
∴P在沿四邊形ABGF的邊逆時針運動了5圈又運動了22cm后在BG邊距點B 4cm處與點Q相遇（或距離點G6cm處與點Q相遇）．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、路程、時間、速度關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度．