Question

1．函數(shù)學習中，自變量取值范圍及相應(yīng)的函數(shù)值范圍問題是大家關(guān)注的重點之一，請解決下面的問題．
（1）分別求出當2≤x≤4時，三個函數(shù)：y=2x+1，y=$\frac{2}{x}$，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）若y=$\frac{2}{x}$的值不大于2，求符合條件的x的范圍；
（3）若y=$\frac{k}{x}$，當a≤x≤2時既無最大值，又無最小值，求a的取值范圍；
（4）y=2（x-m）²+m-2，當2≤x≤4時有最小值為1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)k=2＞0結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當2≤x≤4時，y=2x+1的最大值和最小值；根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當2≤x≤4時，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，解之即可得出x的取值范圍；
（3）①當k＞0時，如圖得當0＜x≤2時，得到y(tǒng)=$\frac{k}{2}$無最大值，有最小值$\frac{k}{2}$，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，得到y(tǒng)≤$\frac{k}{a}$有最大值$\frac{k}{a}$，無最小值，②當k＜0時，如圖得當0＜x≤2時，y=$\frac{k}{2}$無最小值，有最大值$\frac{k}{2}$，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤$\frac{k}{a}$有最小值$\frac{k}{a}$，無最大值，于是得到結(jié)論；
（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合當2≤x≤4時有最小值為1即可得出關(guān)于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵y=2x+1中k=2＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當x=2時，y_最小=5；當x=4時，y_最大=9．
∵y=$\frac{2}{x}$中k=2＞0，
∴在2≤x≤4中，y隨x的增大而減小，
∴當x=2時，y_最大=1；當x=4時，y_最小=$\frac{1}{2}$．
∵y=2（x-1）²+1中a=2＞0，且拋物線的對稱軸為x=1，
∴當x=1時，y_最小=1；當x=4時，y_最大=19．
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合條件的x的范圍為x＜0或x≥1．
（3）①當k＞0時，如圖得當0＜x≤2時，y=$\frac{k}{2}$無最大值，有最小值$\frac{k}{2}$，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤$\frac{k}{a}$有最大值$\frac{k}{a}$，無最小值，②當k＜0時，如圖得當0＜x≤2時，y=$\frac{k}{2}$無最小值，有最大值$\frac{k}{2}$，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤$\frac{k}{a}$有最小值$\frac{k}{a}$，無最大值，∴當k＜0，a＜0時，此時，y=$\frac{k}{x}$既無最大值，又無最小值，綜上所述，a的取值范圍是a＜0；
（4）①當m＜2時，有2（2-m）²+m-2=1，
解得：m₁=1，m₂=$\frac{5}{2}$（舍去）；
②當2≤m≤4時，有m-2=1，
解得：m₃=3；
③當m＞4時，有2（4-m）²+m-2=1，
整理得：2m²-15m+29=0．
∵△=（-15）²-4×2×29=-7，無解．
∴m的值為1或3．

①當k＞0時，如圖得當0＜x≤2時，y=$\frac{k}{2}$無最大值，有最小值$\frac{k}{2}$，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤$\frac{k}{a}$有最大值$\frac{k}{a}$，無最小值，②當k＜0時，如圖得當0＜x≤2時，y=$\frac{k}{2}$無最小值，有最大值$\frac{k}{2}$，同理當a＜0時，且a≤x＜0時，y≤$\frac{k}{a}$有最小值$\frac{k}{a}$，無最大值，∴當k＜0，a＜0時，此時，y=$\frac{k}{x}$既無最大值，又無最小值，綜上所述，a的取值范圍是a＜0；

點評 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)一次（二次）函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（2）找出關(guān)于x的不等式；（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮．