Question

11．如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長的最小值為6．

Answer 1

分析 延長AD至A′，使AD=DA′，延長AB至E′，使BE=BE′，連接A′E′，交BC于M，交DC于N，此時(shí)AN=A′N，EM=E′M，四邊形AEMN周長=AN+MN+ME+AE=A′B′+AE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A′B′+AE就是四邊形AEMN周長的最小值；然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答 解：延長AD至A′，使AD=DA′，延長AB至E′，使BE=BE′，連接A′E′，交BC于M，交DC于N，此時(shí)AN=A′N，EM=E′M，四邊形AEMN周長=AN+MN+ME+AE=A′E′+AE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A′E′+AE就是四邊形AEMN周長的最小值；
∵AD=2，AE=BE=1，
∴A′D=AD=2，BE=BE′=1，
∴AE′=3，AA′=4，
∴A′E′=$\sqrt{AE{′}^{2}+AA{′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴四邊形AEMN周長的最小值為5+1=6．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，同時(shí)也考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出M、N的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．