Question

8．已知二次函數(shù)y=mx²-4mx+3m（m≠0）與x軸相交于A、B（A在B的左側(cè)）兩點，與y軸相交于點C，頂點為M，對稱軸與x軸相交于點N．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）是否存在m值，使得△OAC與△AMN相似，若存在，求出m值，若不存在，說明理由；
（3）證明：AM∥CB．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式即可得到結(jié)論；
（3）求得直線AM的解析式為y=-mx+m，直線BC的解析式為y=-mx+2m，根據(jù)直線的斜率相等，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0，則mx²-4mx+3m=0，
∴x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0），B（3，0）；
（2）存在，
理由：由題意得，∠AOC=∠MNA=90°，
∵y=mx²-4mx+3m=m（x²-4x+3）=m（x-2）²-m，
∴M（2，-m），C（0，3m），N（2，0），
∴OA=1，AN=1，MN=|-m|，OC=|3m|，
①當△AOC∽△ANM時，即$\frac{AO}{AN}=\frac{OC}{NM}$，∴$\frac{1}{1}$=$\frac{|-m|}{|3m|}$，
此方程無解，
②當△AOC∽△MNA時，即$\frac{AO}{MN}=\frac{OC}{NA}$，∴$\frac{1}{|-m|}=\frac{|3m|}{1}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴存在m值，使得△OAC與△AMN相似；
（3）設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-m=2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-m}\\{b=m}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為y=-mx+m，
設(shè)直線BC的解析式為y=ax+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+c}\\{3m=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-m}\\{c=3m}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-mx+2m，
∴兩直線的斜率相等，
∴AM∥CB．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解．