Question

3．如圖1，在平面直角坐標系中，點A在x軸的正半軸上，以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點M是該半圓的中點，在弧AM上有一動點B（不與A，M重合），連接OB，AB，并延長AB到點D，使DB=AB，過點D作x軸的垂線，分別交x軸，直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．

（1）若點A的坐標為（10，0）且∠ADE=30°時，求弧AB的長；
（2）若DE=9，EF=4，求⊙C的半徑：
（3）如圖2，點A為定點，能否找到這樣的點B，使△CDF為等腰三角形，若能，請用尺規(guī)作圖的方法在圖2中準確的畫出點B，若不能．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OB，如圖1，利用圓周角定理得∠ABO=90°，再利用等角的余角相等得到∠AOB=∠ADE=30°，則根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=2∠AOB=60°，然后根據(jù)弧長公式計算即可；
（2）連接AF，如圖1，先利用OB垂直平分AD得到FA=FD=5，再利用勾股定理得到AE=3，AD=3$\sqrt{10}$，則AB=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，接著證明Rt△ADE∽Rt△AOB，然后利用相似比計算出OA即可得到⊙C的半徑：
（3）如圖，作AC的垂直平分線交AC于E，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交AC的垂直平分線于D，連接AD交⊙C于B，可證明FA=FD，而FC=FA，所以FD=FC．

解答 解：（1）連接OB，如圖1，
∵OA為直徑，
∴∠ABO=90°，
∵∠DFB=∠OFE，
∴∠AOB=∠ADE=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∵點A的坐標為（10，0），
∴CA=5，
∴弧AB的長=$\frac{60•π•5}{180}$=$\frac{5}{3}$π；
（2）連接AF，如圖1，
∵DE=9，EF=4，
∴DF=5，
∵AB=BD，F(xiàn)B⊥AD，
∴FA=FD=5，
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵∠ADE=∠AOB，
∴Rt△ADE∽Rt△AOB，
∴$\frac{AD}{AO}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{3\sqrt{10}}{AO}$=$\frac{3}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$，解得OA=15，
∴⊙C的半徑為$\frac{15}{2}$：
（3）如圖，作AC的垂直平分線交AC于E，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交AC的垂直平分線于D，連接AD交⊙C于B．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理，記住弧長公式，會運用勾股定理和相似比進行幾何計算；會利用基本作圖的方法進行幾何作圖．