Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，C點(diǎn)在⊙O上，連接AC，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AB=10，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，連接CD，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，欲證明DE是⊙O的切線(xiàn)，只要證明OD⊥DE即可．
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，只要證明四邊形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF，然后根據(jù)切割線(xiàn)定理結(jié)論得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴∠OAD=∠DAE．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠ODA=∠DA E．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴BC=8，
∴AC=6，
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，
∴AF=CF=3，
∴OF=$\sqrt{A{O}^{2}-A{F}^{2}}$=4，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四邊形OFED是矩形，
∴DE=OF=4，
∵DE是⊙O的切線(xiàn)，
∴DE²=CE•AE，
∴CE=2，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住切線(xiàn)的判定方法，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．