Question

20．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+k-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若k為正整數(shù)，求該方程的整數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得△=2²-4（k-2）=12k-4k＞0，然后解不等式即可；
（2）利用k的范圍得到k=1或2或3，而方程的根都是整數(shù)，則12-4k是完全平方數(shù)，所以k=2，然后解k=2時(shí)的一元二次方程即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=2²-4（k-2）=12k-4k＞0，
解得k＜3；
（2）∵k為正整數(shù)，
∴k=1或2或3
∵方程的根都是整數(shù)，
∴12-4k是完全平方數(shù)．
∴k=2
當(dāng)k=2時(shí)，原方程變?yōu)閤²+2x=0．解得x₁=0，x₂=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．