Question

17．在△ABC中，AB=AC，D是直線BC上一點，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．
（1）如圖（1），點D在線段BC上移動時，角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α+β=180°，證明你的結(jié)論；
（2）如圖（2），點D在線段BC的延長線上移動時，
①探索角α與β之間的數(shù)量關(guān)系并證明，
②探索線段BC、DC、CE之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
（3）當(dāng)點D在線段BC的反向延長線上移動時，請在圖（3）中畫出完整圖形并猜想角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α＞β，線段BC、DC、CE之間的數(shù)量關(guān)系是BC+CD＞CE，并寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）先證∠CAE=∠BAD，再證明△ABD≌△ACE，得出對應(yīng)角相等∠ABD=∠ACE，即可得出結(jié)論；
（2）同（1），證明△ABD≌△ACE，得出對應(yīng)角相等∠ABD=∠ACE，對應(yīng)邊相等BD=CE，即可得出結(jié)論；
（3）連接BE，先證明△BAE≌△CAD，得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，再根據(jù)三角形外角關(guān)系和三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）α+β=180°；理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180°；
（2）α=β；理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，即α=β；
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；
（3）α＞β，BC+CD＞CE；如圖所示：連接BE，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ABE+∠DBE=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBE=∠BAC=α，
∵∠DBE＞β，
∴α＞β，
∵BC+BE＞CE，
∴BC+CD＞CE．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等得出對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．