Question

4．已知a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，求（$\frac{ab^2+b^2+1}{a}$）²⁰¹²的值．

Answer 1

分析 將兩等式左右兩邊相減，左邊整理后分解因式，根據(jù)1-ab²≠0的題設(shè)條件求得b²=-a，代入所求的分式化簡，再將a²=-2a+1代入，整理后即可求出值．

解答 解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0，
化簡之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0，
若a-b²+2=0，即b²=a+2，則1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=0，與題設(shè)矛盾，所以a-b²+2≠0，
因此a+b²=0，即b²=-a，
又因為a²+2a-1=0，即a²=-2a+1，
則（$\frac{ab^2+b^2+1}{a}$）²⁰¹²
=$（\frac{-{a}^{2}-a-2a+1}{a}）^{2012}$
=$（\frac{2a-1-a-2a+1}{a}）^{2012}$
=（-1）²⁰¹²
=1．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．